在网上看到的一篇文章，看了以后感触颇深。
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个
极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出
这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太无厘头了吧！于是开始有人逃课，更多的
人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出
场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯
掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数
的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with
Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，
它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的
表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况
下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟
练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
1、矩阵究竟是什么东西？
2、向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？
3、我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？
4、如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
5、矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟
然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是
什么？
6、行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就
没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对mxn矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，
行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
7、矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
8、对于矩阵转置运算AT，有(AB)T=BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？
这仅仅是巧合吗？
9、为什么说P−1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
10、特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax=λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何
至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，
面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。
然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学
问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经
发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”
的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提
问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果
是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科
书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公
理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我
本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那
些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数
学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚�教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics
（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考
的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得
现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot
也是很有意义的。
线性空间
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我
希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在
里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，
就得到希尔伯特空间。总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是：存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，
就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问
就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空
间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：
1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；
2.这些 我们知道通过一个指向之类的父类指针可以调用子类的虚方法，因为子类的方法会覆盖父类同样的方法，通过这个指针可以找到对象实例的地址，通过实例的地址可以找到指向对应方法表的指针，而通过这个方法的名字就可以确定这个方法在方法表中的位置，直接调用就行，在多继承的时候，一个类可能有多个方法表，也就有多个指向这些方法表的指针，一个类有多个父类，怎么通过其中一个父类的指针调用之类的虚方法？ 其实前面几句话并没有真正说清楚，在单继承中，父类是怎么调用子类的虚方法的，还有多继承又是怎么实现这点的，想知道这些，请认真往下看。 我们先看单继承是怎么实现的。先上两个简单的类： 运行结果如下： 通过运行结果我们知道：通过父类指向子类的指针调用的是子类的虚方法。在单一继承中，虽然父类有父类的虚方法表，子类有子类的虚方法表，但是子类并没有指向父类虚方法的指针，在子类的实例中，子类和父类是公用一个虚方法表，当然只有一个指向方法表的指针，为什么可以公用一个虚方法表呢，虚方法表的第一个方法是析构函数，子类的方法会覆盖父类的同样的方法，子类新增的虚方法放在虚方法表的后面，也就是说子类的虚方法表完全覆盖父类的虚方法表，即子类的每个虚方法与父类对应的虚方法，在各种的方法表中的索引是一样的。 但是在多继承中就不是这样了，第一个被继承的类使用起来跟单继承是完全一样的，但是后面被继承的类就不是这样了，且仔细往下看。 还是先上3个简单的类
using namespace std;
class A
{
public:
A():a(0){}
virtual ~A(){}
virtual void GetA()
{
cout<<"A::GetA"<<endl;
}
void SetA(int _a)
{
a=_a;
}
int a;
};
class B:public A
{
public:
B():A(),b(0){}
virtual ~B(){}
virtual void GetA()
{
cout<<"B::GetA"<<endl;
}
virtual void GetB()
{
cout<<"B::GetB"<<endl;
}
private:
int b;
};
typedef int (*Fun)(void);
void TestA()
{
Fun pFun;
A a;
cout<<"类A的虚方法（第0个是A的析构函数）："<<endl;
int** pVtab0 = (int**)&a;
for (int i=1; (Fun)pVtab0[0]!=NULL; i++){
pFun = (Fun)pVtab0[0];
cout << " ["<<i<<"] ";
pFun();
}
cout<<endl;
B b ;
A* b1=&b;
cout<<"类B的虚方法（第0个是B的析构函数）通过类B的实例："<<endl;
int** pVtab1 = (int**)&b;
for (int i=1; (Fun)pVtab1[0]!=NULL; i++){
pFun = (Fun)pVtab1[0];
cout << " ["<<i<<"] ";
pFun();
}
cout<<endl;
cout<<"类B的虚方法（第0个是B的析构函数）通过类A的指针："<<endl;
int** pVtab2 = (int**)&*b1;
for (int i=1; (Fun)pVtab2[0]!=NULL; i++){
pFun = (Fun)pVtab2[0];
cout << " ["<<i<<"] ";
pFun();
}
cout<<endl;
cout<<" b的地址："<<&b<<endl;
cout<<"b1指向的地址："<<b1<<endl<<endl;
}
using namespace std;
class A
{
public:
A():a(0){}
virtual ~A(){}
virtual void GetA()
{
cout<<"A::GetA"<<endl;
}
int a;
};
class B
{
public:
B():b(0){}
virtual ~B(){}
virtual void SB()
{
cout<<"B::SB"<<阅读更多内容 
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